В обменном пункте за 2 золотых. Меняем монеты на ЕГЭ

Формулировка задачи: В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за K золотых монеты получить M серебряных и одну медную; за N серебряных монет получить P золотых и одну медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось R медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Задача с монетами входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20 (Задачи на смекалку).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Пример задачи:

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную; за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Для удобства построим таблицу, в которой будет содержаться текущее количество золотых, серебряных и медных монет после каждого обмена.

На нулевом шаге у Николая есть несколько серебряных монет (X), а золотые и медные отсутствуют. Первой операцией может быть только обмен 5 серебряных монет на 3 золотых и 1 медную. Получаем, что золотых монет стало 3, серебряных X-5 и медных 1.

Далее можно попробовать избавиться от золотых монет, ведь в результате всех обменов золотые монеты у Николая должны закончиться. Обмениваем 2 золотых монеты на 3 серебряных и одну медную. Поскольку после второго шага у нас осталась лишь 1 золотая монета, в третьей операции нужно опять обменивать серебряные. А четвертой и пятой можно избавиться от золотых монет.

Проделав пять шагов, можно сделать некоторые выводы. Во-первых, с каждым новым шагом у нас появляется новая медная монета. Поскольку в результате медных монет должно стать 50, можно сделать вывод, что нужно выполнить ровно 50 шагов. Во-вторых, за 5 шагов мы получили золотые монеты и избавились от них, что и требуется в результате. Если разделить общее число шагов (50) на 5, то мы получаем, что эти шаги нужно повторить 10 раз, и тогда золотых монет у нас не будет, медных станет ровно 50, а количество серебряных монет уменьшится.

Осталось лишь подсчитать, на сколько уменьшилось число серебряных монет. За 5 шагов число серебряных монет дважды уменьшилось на 5 и трижды увеличилось на 3, в результате чего их стало на 1 меньше. Если мы повторим эти пять шагов ровно 10 раз, число серебряных монет уменьшится на 10 штук. Это и есть ответ.

Нанялся один бедняк на работу в кузницу, проработал там целых двадцать лет и собрался уходить.

Заплати мне за мою работу, - попросил он кузнеца. - Задумал я домой воротиться, посмотреть, что там делается.

Поработай ещё годик-другой, - попросил его кузнец. - Привык я к тебе, как к родному сыну. Был ты мне в кузнице правой рукой.

Не могу, - ответил работник. - Когда я уходил из деревни, то оставил там молодую жену. Она поклялась, что будет ждать меня двадцать лет. Теперь мне пора возвращаться обратно, потому что с тех пор прошло двадцать лет и, если в этом году я не вернусь, то жена уйдёт из моего дома.

Ну что ж, иди, раз такое -дело, - сказал кузнец, - давай только рассчитаемся.

Отвёл кузнец работника в потайную комнату, открыл сундучок и достал три золотых.

Служил ты мне верой и правдой, хотелось бы мне заплатить за твою работу сполна. Но я человек небогатый. Молот и наковальня не сделают богачом. Есть у меня всего три золотых. Возьми их. Это не так уж и много, но зато я дал их тебе от чистого сердца. Если я когда-нибудь тебе понадоблюсь, приходи ко мне. Я готов уступить тебе даже мою кузницу.

Работник взял три золотых, простился с кузнецом и отправился в свою деревню. По дороге его нагнало трое путников: двое молодых шагали в лаптях, а третий - седой старик, еле ковылял в своих опорках. Молодые путники спросили работника, откуда он идёт, чем занимался и много ли заработал. Работник стал им рассказывать, а старик” не проронив ни слова, слушал щебет птиц в придорожных кустах и улыбался в усы.

Кто этот молчаливый старик? - спросил помощник кузнеца.

А чему он так улыбается?

Ему известен птичий язык, вот он и прислушивается к весёлой беседе пташек” что сидят в придорожных кустах.

А почему он всё время молчит? - опять полюбопытствовал работник.

Потому что, каждое его слово стоит денег.

А сколько он берёт?

За два-три слова - золотой.

У работника в кармане лежало три золотых и он подумал:

«Я бедный человек и едва ли стану беднее от того, что дам этому бородатому старику один золотой. Зато услышу, что он мне скажет» .

Он вынул из кармана один золотой и протянул его старику.

Не входи в мутную реку! - сказал старик и опять умолк.

«Чудной старик! Знает язык птиц и за два-три слова берёт золотой. Интересно, что

он мне скажет, если я ему дам второй золотой?»

И он снова полез в карман.

Старик взял второй золотой.

Как увидишь, что над землёй кружатся орлы, пойди и узнай, в чём дело! - сказал старик и опять замолчал.

Работник почесал в затылке и подумал:

«Смотри-ка, что за слова он говорит! Я столько раз видел, как кружатся орлы, но никогда не останавливался узнать, в чём дело. Дам-ка я старику и третий золотой, всё равно - что с ним, что без него.»

В третий раз он полез в карман, вытащил последнюю монету и протянул её старику.

Старик взял золотой и сказал:

Перед тем, как что-нибудь решить, сосчитай до двадцати пяти.

Некоторое время они шли вчетвером, потом остановились на развилке дороги и распрощались. Отец с сыновьями отправился дальше, а помощник кузнеца свернул к своей деревне. Подошёл он к реке. Она кипела и бурлила, волоча с грозным ревом листву, ветки и целые деревья. Работник вспомнил первый совет молчаливого старика и не вошёл в мутную реку. Сел на берегу и вытащил из сумки хлеб.

Сначала поем, - решил он, - а уж потом поищу мостик или брод.

В это время послышался стук копыт. На дороге показался купец верхом на белом коне.

Эй, браток, - крикнул купец, - почему ты не перешёл на ту сторону?

Не смею входить в мутную воду “Ну и чудак!” - подумал купец и пришпорил коня.

Жеребец бросился в глубокую реку. Сильное течение подхватило его вместе со всадником и понесло вниз по реке. Закружило их, завертело. Всадник захлебнулся и утонул в водовороте, а конь, освободившись от ноши, повернул назад и выбрался на берег. Вода лилась с него ручьями. Работник поймал коня, сел на него верхом, отыскал мост, переехал на другой берег и поскакал к своей деревне. Проезжая мимо лощины, он увидел что над ней кружатся три больших орла.

Посмотрю-ка я, что там такое, - подумал всадник, слез с коня и шмыгнул в кусты. На небольшой полянке он увидел двух лежащих замертво усачей. А рядом с ними валялась кожаная сума, полная золотых монет. Это были разбойники. Ночью они кого-то ограбили, пришли в лощинку и стали делить добычу, но не смогли договориться, вытащили пистолеты и убили друг друга.

Наш путник забрал суму, засунул за пояс один из пистолетов и продолжил свой путь. К вечеру он добрался до родного дома. Открыл ворота, въехал во двор, соскочил с коня, привязал его под навесом и пошёл к дому. Перед тем, как войти, он подумал:

«Дай-ка я загляну в окошко, посмотрю, что делает моя жена».

Окно было открыто. В комнате горел свет. Посредине комнаты стоял накрытый стол, а за ним сидело двое: жена и какой-то мужчина спиной к окну. Увидев его, бывший помощник кузнеца вздрогнул от неожиданности и подумал:

«Какая неверная женщина! Поклялась мне не выходить замуж, пока я не вернусь, а сама живёт в моём доме с другим мужчиной».

Вытащил он пистолет и прицелился. Но как раз в этот момент вспомнились ему слова старика, за которые отдал он свой последний золотой: «Перед тем, как что-нибудь решить, сосчитай до двадцати пяти» . - Сосчитаю до двадцати пяти - подумал он, - а потом выстрелю. Они не успеют убежать.

Матушка, завтра отправлюсь я по белу свету искать своего батюшку. Тяжко мне без него. Сколько лет прошло с тех пор, как он ушёл?

Двадцать, сынок. Когда твой отец уехал, тебе было от роду всего три месяца.

Ну и ну! Вот бы наделал я беды, если бы не начал считать, - ужаснулся бывший помощник кузнеца и крикнул в окно:

Сынок, жена, выходите встречать долгожданного гостя.

Продолжаем подготовку к итоговой государственной аттестации. Сегодня решаем задачи,
которые предлагаются на базовом уровне ЕГЭ по математике под номером 20. Задачи взяты из открытых банков заданий.

За­да­ние 20.

В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

· за 2 зо­ло­тые мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ные и одну мед­ную;

· за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тые и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 100 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая?

Решение:

Из условия мы имеем равенства (сокращения: зм -золотые монеты, см – серебряные монеты, мм – медные монеты)

2 зм = 3 см + 1мм,

5 см = 3 зм + 1мм.

Так как у Николая были только серебряные монеты, а после обмена остались серебряные и появились медные, то все золотые, которые появились в ходе обмена, были опять обменены.

Из второго равенства мы видим, что за десять серебряных монет он получал 6 золотых и 2 медных.

10 см = 6 зм + 2мм. Но из первого равенства находим, что за 6 золотых монет он получает 9 серебряных и 3 медных.

6 зм = 9 см + 3мм. В итоге этих обменов у него вместо десяти серебряных монет осталось 9, но появилось 5 медных. То есть одна серебряная монета равна 5 медным. Так как у него появилось 100 медных монет, то он отдал за них 20 серебряных.

Ответ 20.

Потренируйтесь в решении подобных задач.

· за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

2. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

· за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

· за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых
не появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

3. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

· за 5 золотых монет получить 7 серебряных и одну медную;

· за 10 серебряных монет получить 7 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых
не появилось, зато появилось 60 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?