Уравнение менделеева клапейрона и все его вариации. Уравнение клапейрона-менделеева

Как уже указывалось, состояние некоторой массы определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния .

Французский физик Б.Клапейрон вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

1) изотермического (изотерма 1-1¢),

2) изохорного (изохора 1¢-2).

В соответствии с законами Бойля-Мариотта (1.1) и Гей-Люссака (1.4) запишем:

(1.5)

Исключив из уравнений (1.5) и (1.6) p 1 " , получим

Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина остается постоянной, т.е.

. (1.7)
Выражение (1.7) является уравнением Клапейрона, в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.

Русский ученый Д.И.Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (1.7) к одному молю, использовав молярный объем V m . Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m , поэтому постоянная В будет одинакова для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной . Уравнению

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа , называемым также уравнением Менделеева-Клапейрона .

Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (1.8), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р 0 =1,013×10 5 Па, Т 0 =273,15 К, V m =22,41×10 -3 м 3 /моль): R=8,31 Дж/(моль К).

От уравнения (1.8) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона-Менделеева для произвольной массы газа. Если при некотором заданном давлении и температуре один моль газа занимает объем V m , то при тех же условиях масса m газа займет объем , где М - молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы - килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона-Менделеева для массы m газа

, (1.9)

где - количество вещества.

Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана :

.

Исходя из этого, уравнение состояния (1.8) запишем в виде

,

где - концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения

р=nkT (1.10)
следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропор-ционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта :

.

Основное уравнение молекулярно-кинетической

Теории идеальных газов

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между ними пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS (рис.50) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку.

За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой Dt (рис. 50).

Число этих молекул равно nDSDt (n-концентрация молекул). Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке DS под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина (1/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина- в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет 1/6nDS Dt. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

Каждый школьник, учащийся в десятом классе, на одном из уроков физики изучает закон Клапейрона-Менделеева, его формулу, формулировку, учится применению при решении задач. В технических университетах эта тема тоже входит в курс лекций и практических работ, причем в нескольких дисциплинах, а не только на физике. Закон Клапейрона-Менделеева активно используется в термодинамике при составлении уравнений состояния идеально газа.

Термодинамика, термодинамические состояния и процессы

Термодинамика представляет собой раздел физики, который посвящен изучению общих свойств тел и тепловых явлений в этих телах без учета их молекулярного строения. Давление, объем и температура являются основными величинами, учитывающимися при описании тепловых процессов в телах. Термодинамическим процессом называется изменение состояния системы, т. е. изменение ее основных величин (давление, объем, температура). В зависимости от того, происходят ли изменения основных величин, системы бывают равновесными и неравновесными. Процессы тепловые (термодинамические) можно так классифицировать. То есть если система переходит из одного равновесного состояния в другое, то такие процессы называются, соответственно, равновесными. Неравновесные процессы, в свою очередь, характеризуются переходами неравновесных состояний, то есть основные величины претерпевают изменения. Однако можно их (процессы) разделить на обратимые (возможен обратный переход через те же состояния) и необратимые. Все состояния системы можно описать определенными уравнениями. Для упрощения расчетов в термодинамике вводится такое понятие, как идеальный газ - некая абстракция, которая характеризуется отсутствием взаимодействия на расстоянии между молекулами, размерами которых можно пренебречь ввиду их малого размера. Основные газовые законы и уравнение Менделеева-Клапейрона тесно взаимосвязаны - все законы вытекают из уравнения. Они описывают изопроцессы в системах, то есть такие процессы, в результате которых один из основных параметров остается неизменным (изохорный процесс - не изменяется объем, изотермический - постоянна температура, изобарный - происходит изменение температуры и объема при постоянстве давления). Закон Клапейрона-Менделеева стоит разобрать подробнее.

Уравнение состояния идеального газа

Закон Клапейрона-Менделеева выражает зависимость между давлением, объемом, температурой, количеством вещества именно идеального газа. Можно так же выразить зависимость только между основными параметрами, то есть абсолютной температурой, молярным объемом и давлением. Суть не изменяется, так как молярный объем равен отношению объема к количеству вещества.

Закон Менделеева-Клапейрона: формула

Уравнение состояния идеального газа записывается в виде произведения давления на молярный объем, приравненного к произведению универсальной газовой постоянной и абсолютной температуры. Универсальная газовая постоянная - коэффициент пропорциональности, константа (неизменная величина), выражающая работу расширения моля в процессе увеличения значения температуры на 1 Кельвин в условиях изобарного процесса. Ее величина составляет (приблизительно) 8,314 Дж/(моль*К). Если выразить молярный объем, то получится уравнение вида: р*V=(m/М)*R*Т. Или можно привести к виду: р=nkT, где n - концентрация атомов, к - постоянная Больцмана (R/NА).

Решение задач

Закон Менделеева-Клапейрона, решение задач с его помощью значительно облегчают расчетную часть при проектировании оборудования. Закон при решении задач применяется в двух случаях: задано одно состояние газа и его масса и при неизвестности величины массы газа известен факт ее изменения. Необходимо учитывать, что в случае многокомпонентных систем (смеси газов) записывается уравнение состояния для каждого компонента, т. е. для каждого газа в отдельности. Для установления связи между давлением смеси и давлениями компонентов используется закон Дальтона. Также стоит помнить, что для каждого состояния газа описывается отдельным уравнением, далее решается уже полученная система уравнений. И, наконец, необходимо всегда помнить, что в случае уравнения состояния идеального газа температура является абсолютной величиной, ее значение обязательно берется в Кельвинах. Если в условиях задачи температура измеряется в градусах Цельсия или в каких-либо других, то необходимо произвести перевод в градусы Кельвина.

Идеальный газ, уравнение состояния идеального газа, его температура и давление, объем… список параметров и определений, которыми оперируют в соответствующем разделе физики, можно продолжать достаточно долго. Сегодня мы поговорим как раз на эту тему.

Что рассматривается в молекулярной физике?

Основным объектом, который рассматривается в этом разделе, является идеальный газ. идеального газа было получено с учетом нормальных условий окружающей среды, и об этом мы поговорим немного позднее. Сейчас давайте подойдем к этой “проблеме” издалека.

Допустим, у нас есть некоторая масса газа. Ее состояние можно определить при помощи трех характера. Это, конечно же, давление, объем и температура. Уравнением состояния системы в этом случае будет формула связи между соответствующими параметрами. Она выглядит таким образом: F (p, V, T) = 0.

Вот здесь мы впервые потихоньку подбираемся к появлению такого понятия, как идеальный газ. Им называется газ, в котором взаимодействия между молекулами пренебрежимо малы. Вообще в природе такого не существует. Однако любой сильно близок к нему. От идеального мало чем отличаются азот, кислород и воздух, находящиеся в нормальных условиях. Чтобы записать уравнение состояния идеального газа, мы можем использовать объединенный Получим: pV/T = const.

Связанное понятие № 1: закон Авогадро

Он может рассказать нам о том, что если мы возьмем одинаковое количество молей абсолютно любого случайного газа и поставим их в одинаковые условия, среди которых температура и давление, то газы займут одинаковый объем. В частности, опыт проводился при нормальных условиях. Это означает, что температура была равна 273,15 Кельвинам, давление - одной атмосфере (760 миллиметров ртутного столба или же 101325 Паскалей). При таких параметрах газ занял объем равный 22,4 литра. Следовательно, мы можем говорить о том, что для одного моля любого газа соотношение числовых параметров будет величиной постоянной. Именно поэтому было принято решение этой цифре дать обозначение буквой R и назвать ее универсальной газовой постоянной. Таким образом, она равняется 8,31. Размерность Дж/моль*К.

Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа и манипуляции с ним

Давайте попробуем переписать формулу. Для этого запишем его в таком виде: pV = RT. Далее совершим нехитрое действие, умножим обе части уравнения на произвольное количество молей. Получим pVu = uRT. Примем во внимание тот факт, что произведение молярного объема на количество вещества есть просто объем. Но ведь количество молей одновременно будет равняться частному массы и молярной массы. Именно так выглядит Оно дает четкое понятие о том, какую систему образует идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа примет вид: pV = mRT/M.

Выведем формулу для давления

Давайте проведем еще некоторые манипуляции с полученными выражениями. Для этого правую часть уравнения Менделеева-Клапейрона умножим и разделим на число Авогадро. Теперь внимательно смотрим на произведение количества вещества на Это есть не что иное, как общее число молекул в газе. Но в то же время отношение универсальной газовой постоянной к числу Авогадро будет равно постоянной Больцмана. Следовательно, формулы для давления можно записать таким образом: p = NkT/V или p = nkT. Здесь обозначение n это концентрация частиц.

Процессы идеального газа

В молекулярной физике существует такое понятие, как изопроцессы. Это которые имеют место в системе при одном из постоянных параметров. При этом масса вещества также должна оставаться постоянной. Давайте рассмотрим их более конкретно. Итак, законы идеального газа.

Постоянным остается давление

Это закон Гей-Люссака. Выглядит он так: V/T = const. Его можно переписать и по-другому: V = Vo (1+at). Здесь a равняется 1/273,15 К^-1 и носит название "коэффициент объемного расширения". Мы можем подставить температуру как по шкале Цельсия, так и по шкале Кельвина. В последнем случае получим формулу V = Voat.

Постоянным остается объем

Это второй закон Гей-Люссака, более часто называемый законом Шарля. Выглядит он так: p/T = const. Есть и другая формулировка: p = po (1 + at). Преобразования могут быть проведены в соответствии с предыдущим примером. Как можно видеть, законы идеального газа иногда бывают достаточно похожими друг на друга.

Постоянным остается температура

Если температура идеального газа остается величиной постоянной, то мы можем получить закон Бойля-Мариотта. Он может быть записан таким образом: pV = const.

Связанное понятие № 2: парциальное давление

Допустим, у нас имеется сосуд с газами. Это будет смесь. Система находится в состоянии теплового равновесия, а сами газы между собой не реагируют. Здесь N будет обозначать общее количество молекул. N1, N2 и так далее, соответственно, количество молекул в каждом из компонентов имеющейся смеси. Возьмем формулу давления p = nkT = NkT/V. Ее можно раскрыть для конкретного случая. Для двухкомпонентной смеси формула примет вид: p = (N1 + N2) kT/V. Но тогда получится, что общее давление будет суммироваться из частных давлений каждой смеси. А значит, оно будет иметь вид p1 + p2 и так далее. Это и будут парциальные давления.

Для чего это нужно?

Полученная нами формула указывает на то, что давление в системе оказывается со стороны каждой группы молекул. Оно, кстати, не зависит от других. Этим воспользовался Дальтон при формулировании закона, названного впоследствии в его честь: в смеси, где газы не реагируют между собой химически, общее давление будет равно сумме парциальных давлений.

Это уравнение справедливо для всех газов в любых количествах и для всех значений P, V и T, при которых газы можно считать идеальными

где R – универсальная газовая постоянная;

R=8,314 Дж / моль к =0,0821 л а.е.м./ моль к

Состав газовых смесей выражают при помощи объёмной доли – отношении объёма данного компонента к общему объёму смеси

,

где -объёмная доля компонента X, V(x) – объём компонента X; V – объём системы.

Объёмная доля – безразмерная величина, её выражают в долях от единицы или в процентах.

IV. Примеры решения задач.

Задача 1 . Какой объём занимают 0,2 моль любого газа при н.у.?

Решение: Количество вещества определяется по формуле:

Задача 2 . Какой объём при н.у. занимает 11г. углекислого газа?

Решение: Количество вещества определяется

Задача 3 . Рассчитайте относительную плотность хлороводорода по азоту, по водороду, по воздуху.

Решение: Относительная плотность определятся по формуле:

;
;

Задача 4 .Вычисление молекулярной массы газа по заданному объёму.

Масса 327 мл газа при 13 0 С и давлении 1,04*10 5 Па равна 828 г.

Вычислить молекулярную массу газа.

Решение: Вычислить молекулярную массу газа можно, используя уравнение Менделеева-Клапейрона:

Величина газовой постоянной определяется принятыми единицами измерения. Если давление измеряется в Па, а объём в м 3 , то .

Задача 5 . Вычисление абсолютной массы в молекуле вещества.

1. Определите массу молекулы газа, если масса 1 л газа при н.у. равна 1,785г.

Решение: Исходя из молекулярного объёма газа определяем массу моля газа

где m – масса газа;

M – молярная масса газа;

Vm – молярный объём, 22,4л/моль;

V – объём газа.

2. Число молекул в моле любого вещества равно постоянной Авогадро (
). Следовательно, число молекулm равна:

Задача 6 . Сколько молекул содержится в 1 мл водорода при н.у.?

Решение: Согласно закону Авогадро 1 моль газа при н.у. занимает объём 22,4 л, 1 моль газа содержит
(моль -1) молекул.

в22,4 л содержится 6,02*10 23 молекул

в 1 мл водорода содержится X молекул

Ответ:

Задача 7 . Вывод формул.

I. Органическое вещество содержит углерод (массовая доля 84,21%) и водород (15,79%). Плотность паров вещества по воздуху составляет 3,93.

Определить формулу вещества.

Решение: Представляем формулу вещества в виде CxHy.

1. Рассчитаем молярную массу углеводорода, используя плотность по воздуху.

2. Определяем количество вещества углерода и водорода

II. Определить формулу вещества. При содержании 145 г его, получено 330 г CO 2 и 135 г H 2 O. Относительная плотность пара этого вещества по водороду равна 29.

1. Определяем массу неизвестного вещества:

2. Определяем массу водорода:

2.1.

2.2. Определяем массу углерода:

2.3. Определяем, есть ли третий элемент – кислород.

Т.о. m(O) = 40г

Чтобы выразить полученное уравнение целыми числами (т.к. это количество атомов в молекуле) разделим все его числа на меньшее из них

Тогда простейшая формула неизвестного вещества C 3 H 6 O.

2.5. → простейшая формула и есть искомое неизвестное вещество.

Ответ: C 3 H 5 O

Задача 8 : (Решить самостоятельно)

Соединение содержит 46,15% углерода, остальное азот. Плотность по воздуху равна 1,79.

Найти истинную формулу соединения.

Задача 9 : (решить самостоятельно)

Одинаковое ли число молекул

а) в 0,5 г азота и 0,5 г метана

б) в 0,5 л азота и 0,5 л метана

в) в смесях 1,1 г CO 2 и 2,4 г озона и 1,32 г CO 2 и 2,16 г озона

Задача 10 : Относительная плотность галогеноводорода по воздуху 2,8. Определить плотность этого газа по воздуху и назовите его.

Решение: согласно закону газового состояния
, т.е. отношение молярной массы галогеноводорода (M (HX)) к молярной массе воздуха (M ВОЗД) равно 2,8 →

Тогда молярная масса галогена:

→ X – это Br, а газ – бромоводород.

Относительная плотность бромоводорода по водороду:

Ответ: 40,5, бромоводород.

1. Идеальным газом называется газ, в котором отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия. С достаточной степенью точности газы можно считать идеальными в тех случаях, когда рассматриваются их состояния, далекие от областей фазовых превращений.
2. Для идеальных газов справедливы следующие законы:

а) Закон Бойля - Mаpuomma: при неизменных температуре и массе произведение численных значений давления и объема газа постоянно:
pV = const

Графически этот закон в координатах РV изображается линией, называемой изотермой (рис.1).

б) Закон Гей-Люссака: при постоянном давлении объем данной массы газа прямо пропорционален его абсолютной температуре:
V = V0(1 + at)

где V - объем газа при температуре t, °С; V0 - его объем при 0°С. Величина a называется температурным коэффициентом объемного расширения. Для всех газов a = (1/273°С-1). Следовательно,
V = V0(1 +(1/273)t)

Графически зависимость объема от температуры изображается прямой линией - изобарой (рис. 2). При очень низких температурах (близких к -273°С) закон Гей-Люссака не выполняется, поэтому сплошная линия на графике заменена пунктиром.

в) Закон Шарля: при постоянном объеме давление данной массы газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:
p = p0(1+gt)

где р0 - давление газа при температуре t = 273,15 К.
Величина g называется температурным коэффициентом давления. Ее значение не зависит от природы газа; для всех газов = 1/273 °С-1. Таким образом,
p = p0(1 +(1/273)t)

Графическая зависимость давления от температуры изображается прямой линией - изохорой (Рис. 3).

г) Закон Авогадро: при одинаковых давлениях и одинаковых температурах и равных объемах различных идеальных газов содержится одинаковое число молекул; или, что то же самое: при одинаковых давлениях и одинаковых температурах грамм-молекулы различных идеальных газов занимают одинаковые объемы.
Так, например, при нормальных условиях (t = 0°C и p = 1 атм = 760 мм рт. ст.) грамм-молекулы всех идеальных газов занимают объем Vm = 22,414 л.· Число молекул, находящихся в 1 см3 идеального газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта; оно равно 2,687*1019> 1/см3
3. Уравнение состояния идеального газа имеет вид:
pVm = RT

где р, Vm и Т - давление, молярный объем и абсолютная температура газа, а R - универсальная газовая постоянная, численно равная работе, совершаемой 1 молем идеального газа при изобарном нагревании на один градус:
R = 8.31*103 Дж/(кмоль*град)

Для произвольной массы M газа объем составит V = (M/m)*Vm и уравнение состояния имеет вид:
pV = (M/m) RT

Это уравнение называется уравнением Менделеева - Клапейрона.
4. Из уравнения Менделеева - Клапейрона следует, чти число n0 молекул, содержащихся в единице объема идеального газа, равно
n0 = NA/Vm = p*NA /(R*T) = p/(kT)

где k = R/NA = 1/38*1023 Дж/град - постоянная Больцмана, NA - число Авогадро.